makalah kapita selekta materi fungsi kuadrat
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Pemahaman akan
konsep fungsi kuadrat sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu
matematika. Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom dengan pangkat peubah
tertingginya adalah 2. Secara umum fungsi kuadrat berbentuk: f(x) = ax2+
by + c atau y = ax2 + by + c dengan a.b.c suatu bilangan real dan a
≠ 0 Persamaan diatas memiliki akar sebagai berikut: x1,2 = (-b/2a) ±
(b2-4ac) 1/2/2a Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat
terbesar variabelnya adalah 2 dan dikatakan mirip dengan persamaan kuadrat,
namun berbentuk suatu fungsi.
1.2 Rumusan Masalah
a. Menjelaskan bentuk umum dan sifat
fungsi kuadrat
b. Menjelaskan sketsa fungsi kuadrat
c. Menjelaskan Persamaan fungsi kuadrat
d. Menjelaskan hubungan garis lurus dan
parabola
1.3 Tujuan Masalah
a. Agar mahasiswa memahami pengertian
bentuk umum dan sifat funsi kuadrat
b. Agar mahasiswa mengetahui
langkah-langkah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat
c.Agar mahasiswa mengetahui cara
menentukan persamaan fungsi kuadrat
d.Agar mahasiswa mengetahui hubungan
garis lurus dan parabola
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Fungsi Kuadrat
a. Bentuk Umum dan Sifat Fungsi Kuadrat
Pengertian
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a,
b, c R dan a ≠ 0 disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat f:= ax2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax2
+ bx + c dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi
yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat,
namun berbentuk suatu fungsi.
ü Fungsi kuadrat
mempunyai bentuk umum: y= f(x) = ax² +
bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0. Sebuah fungsi selalu
berhubungan dengan grafik, begitu pula dengan fungsi kuadrat.
ü Grafik fungsi
kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c berbentuk Parabola
ü Jika nilai a
> 0 , maka parabola terbuka ke
atas dan mempunyai nilai ekstrem
minimum.
ü Jika nilai a
< 0, maka parabola terbuka ke
bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum.
ü Koordinat titik
puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( xp, yp ) .
b. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah dalam membuat sketsa
grafik fungsi kuadrat/ parabola
( y = ax2 +
bx + c ) :
1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0
- kemudian
difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 .
jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya.
- jika D < 0 maka fungsi tersebut
memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa
grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x
- jika D
> 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi
kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya... bisa jadi karena
angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal.
Akar-akarnya dapat kita cari dengan
dicari turunan atau dengan rumus:
setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka
titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x : ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )
2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0
Titik
potong dengan sumbu Y diperoleh dengan cara mencari nilai y pada fungsi kuadrat
, jika nilai peubah x
sama dengan nol, sehingga diperoleh titik (0,y1)
karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan
sumbu y = ( 0 , c ).
3. Menentukan sumbu simetri ( Xp ) dan titik ekstrim ( yp )
Dari
penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai ekstrim ( yp
) diperoleh titik pun-cak. grafik fungsi
kuadrat/parabola : ( xp , yp ) . Titik ekstrim pada fungsi kuad-rat merupakan
koordinat dengan absisnya merupakan nilai sumbu simetri dan or-dinatnya
merupakan nilai ekstrim.
Pasangan koordinat titik
ekstrim pada fungsi kuadrat y = ax2+bx+c adalah sebagai berikut:
Xp,Yp = (− 𝑏 /2𝑎, − 𝐷/ 4𝑎 )
Keterangan:
D adalah diskriminan D = b² -
4ac
Xp = - 𝑏/ 2𝑎, adalah sumbu simetri
Yp = -D /4𝑎 merupakan nilai ekstrim fungsi kuadrat.
b. Sketsa Parabola
mengulang pembahasan mengenai
titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemung-kinan yaitu :
D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x
dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :
D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x
dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :
Contoh :
1.
Sketsalah grafik fungsi kuadrat dari persamaan x2
-2x – 3?
Penyelesaian :
y=f(x)= ax2 + bx + c
y= x2 -2x – 3
-
Menentukan titik potong dengan
sumbu x
Syarat y=0
0= x2 -2x – 3
0=( x+ 1) (x – 3)
x=-1, x=3
maka tipot nya (-1,0) dan (3,0)
-
Menentukan titik potong dengan
sumbu y
Syarat x=0, y=c
y= x2 -2x – 3
y= (0)2 -2(0) – 3
y=-3
tipotnya (0,-3)
-
Menentukan sumbu simetri dan
titik puncaknya xp, yp)
y= x2
-2x – 3
a=1, b=-2, c=
-3
xp =
-b/ 2a
xp =
-(-2)/ 2(1)
xp =1
sumbu
simetrinya (xp=1)
y= x2
-2x – 3
yp =
-D/ 4a
yp =
-(b2-4.a.c)/4.a
yp =
-(-2)2-4.1.-3/ 4.1
yp=
-16/4
yp=
-4
maka titik
puncaknya (1,-4)
-
Sketsa grafiknya
2.
Jumlah dua buah bilangan = 100
, Tentukan nilai terbesar dari hasil kedua bilangan tersebut ?
Penyelesaian :
x+y=100 , x.y = Rmax
y = x-100
x.y = x(x-100)
x.y =x2-100
maka
f(x) = x2-100
a= 1, b=-100, c=0
Rmax= -D/4a
= -(-b2-4.a.c)/ 4.a
= -(-100)2-4.1.0/ 4.-1
= (10000)/4
=2500
3.
Fungsi kuadrat
f(x) = x2 + 8x + 2a , memotong sumbu x di dua titik
maka nilai a?
Penyelesaian:
y = x2
+ 8x + 2a
a=1, b=8,
c=2a
syarat D >
0
x2
+ 8x + 2a > 0
64-8a >0
-8a > -64 :(-8)
a<8
jadi nilai a
< 8
4. Fungsi kuadrat f(x) = ax2 – (2a-4)x + (a+4) selalu bernilai positif untuk nilai a yang
memenuhi ..?
Penyelesaian :
Bernilai definit positif maka:
a> 0, D< 0.......................................(1)
syarat D < 0
(-2a-4)2- 4a2-16a
< 0
4a2-16a+16-
4a2-16a < 0
-32a<-16
a<1/2......(2)
Ø
HP = irisan (1) dan (2)
 |
0 1/2
C.
Persamaan Fungsi kuadrat
a. Jika melalui tiga titik sembarang , yaitu (x1,y1)
,(x2,y2) dan (x3,y3) maka
persamaan fungsi kuadrat dapat diperoleh dengan cara mensubstitusikan ketiga
titik tersebut ke dalam persamaan y= ax2 + bx + c. Selanjutnya , diperoleh
tiga persamaan dan nilai a,b,c . dapat ditentukan dengan cara eliminasi-substitusi.
b. Jika Parabola
memotong sumbu x di (x1,0) dan (x2,0) serta diketahui
titik lain (x,y) maka menggunakan rumus:
y= a(x-x1) (x-x2).
c.
Jika Parabola melalui titik Puncak (xp,yp) dan satu titik
lain (x,y) maka menggunakan rumus :
y= a(x-xp) 2
+ yp
contoh:
Gambar tersebut adalah grafik
fungsi kuadrat .... ?
a.
Penyelesaian:
a.) Dari gambar kita ketahu
titik puncaknya (1,5) dan x,y (0,3)
maka
kita gunakan rumus y= a(x-xp) 2 + y1
y= a(x-xp) 2 + y1
y= a(x-1)2+5
-
titik lain (0,3)
3= a(0-1)2+ 5
3= a +5
a+5= 3
a= 3-5
a=-2
setelah a diketahu masukkan
kembali ke persamaan rumus semula:
y= -2 (x-1) 2 + 5
y= -2 (x2-2x+1) + 5
y= -2 x2+4x-2 + 5
y= -2 x2+4x + 3.
b.
Penyelesaian:
b.) Dari gambar kita ketahu titik potong dengan sumbu x1
= (1,0) x2= (5,0) dan x,y
=
(0,-5) , maka kita gunakan rumus y= a(x-x1) (x-x2).
y= a(x-x1) (x-x2).
y= a(x-1) (x-5).
-
titik lain (0,-5)
-5= a(0-1)(0-5)
-5= a x 5
a = -5/ 5
a = -1
setelah a diketahui masukkan kembali ke persamaan rumus semula:
y= -1(x-1) (x-5).
y= (-x+1) (x-5).
y= -x2 + 6x -5
D. Hubungan garis lurus dan
parabola
Ø Garis : y= mx+n ...........(1)
Ø Parabola : y= ax²+bx +c......(2)
Persamaan (2) disubstitusikan
ke persamaan (1) diperoleh:
ax² + bx +c = mx+ n
ax²+ (b- m)x + (c-n) = 0.................(3)
Persamaan (3) adalah persamaan
kuadrat sehingga hubungan garis dan parabola dapat ditentukan berdasarkan nilai
diskriminan nya :
( D = ( b-m )²-4ac(c-n)).
§
Jika D > 0 maka parabola dan garis berpotongan di dua titik
§
Jika D = 0 maka parabola dan garis berpotongan di satu titik (menyinggung) .
§
Jika D < 0 maka parabola dan garis tidak berpotongan
Contoh :
1. Jika grafik fungsi f(x) =
x²+px +5 , menyinggung
garis 2x + y = 1
dan
p>0 maka nilai p yang memenuhi adalah ..?
Penyelesaian:
y=
x²+px +5.............(1)
2x
+y =1, y = 1-2x...(2)
y1=y2
x²+px +5= 1-2x
x²+px +5-1-2x=0
x²+px +4 +2x=0
x²+ (p+2)x +5=0
syarat
menyinggung D= 0
(p+2)2-4.1.4 =0
(p+2)2-16=0
(p+2)
= 
P+2 = 
Ø P+2 =4 p+2=-4
P = 4-2 p=
-4-2
P = 2 p=
-6
2. Agar parabola y = x2 –
7x + 2n dan garis y = x + n + 5 berpotongan di dua titik. Nilai n adalah
…
Penyelesaian :
x2 –
7x + 2n = x + n + 5
x2 –
8x+ n – 5 = 0
D
> 0
b2 – 4ac > 0
(-8)2
– 4.1.(n – 5) > 0
64 –
4n + 20 > 0
-4n
> -84
n
< 21
3. Parabola y = x2 + kx + 5 tidak memotong garis y = 3x
– k. Nilai k yang memenuhi adalah …
Penyelesaian:
x2 + kx + 5 = 3x – k
x2 + kx – 3x + k + 5 = 0
x2 + (k- 3)x + k + 5 = 0
Agar tidak berpotongan maka D < 0
b2 – 4ac < 0
(k –
3)2 –
4.1.(k + 5) < 0
k2 – 6k + 9 – 4k – 20 < 0
k2 – 10k – 11 < 0
(k –
11)(k + 1) < 0
dari
sini diperoleh pembuat nolnya adalah 11 dan -1
-1 < k <11
KESIMPULAN
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat
terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk
suatu fungsi. Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan
a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0.
Langkah – langkah dalam menyelesaikan soal fungsi
kuadrat dengan grafiknya adalah sebagai berikut:
- Menentukan titik potong dengan sumbu x (y = 0)
- Menentukan titik potong dengan sumbu y (x = 0)
- Menentukan persamaan sumbu simetri
- Menentukan nilai ekstrim
- Menentukan titik ekstrim/titik puncak
- Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat.
DAFTAR PUSTAKA
Aplikasi Geogebra
Komentar
Posting Komentar