bilangan kompleks

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Dalam matematika, bilangan kompleks  adalah bilangan yang berbenntuk {\displaystyle a+bi\,}di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh,  3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bi.

1.2 Rumusan Masalah

a. Pengertian bilangan kompleks ?

b. Mampu menjelaskan Modulus, sekawan (conjugate) kompleks, pembagian

1.3 Tujuan Masalah

a. Agar mahasiswa memahami pengertian bilangan kompleks

b. Agar mahasiswa mengetahui mengenai materi Modulus, sekawan (conjugate) kompleks, pembagian

BAB II

PEMBAHASAN

2.1   MODULUS, SEKAWAN (CONJUGATE) KOMPLEKS, PEMBAGIAN

Tujuan utama kita dalam pasal ini adalah mendefenisikan pembagian bilangan kompleks . akan tetapi, akan membantu untuk memulai dengan pemikiran pendahuluan .

            Jika z = a + bi  sebarang bilangan kompleks , maka sekawan z yang dinyatakan oleh  ( dibaca “z garis”), didefenisikan oleh

 = 

            Dengan kata-kata , diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner z. Secara geometris,  merupakan pencerminan z terhadap sumbu riil (Gambar 9.5)

Contoh 1 :

                                                                   

                                                                

                                                                           

                                                                             

                                   

PERNYATAAN. Baris terakhir dalam contoh 1 mengilustrasikan kenyataan bahwa suatu bilangan riil sama dengan sekawannya. Secara lebih tepat , dapat diperlihatkan bahwa z =  z jika dan hanya jika z bilangan riil .

            Jika bilangan kompleks z dipandang sebagai vektor di R², maka norma atau panjang vektor disebut modulus (atau nilai mutlak) z. Secara lebih tepat :

Defenisi 2.1 Modulus bilangan kompleks z = a + bi , dinyatakan oleh   , didefenisikan oleh

            Jika b = 0, maka z = a berupa bilangan riil , dan

               

Sehingga modulus bilangan riil adalah nilai mutlaknya . jadi, modulus z disebut juga nilai mutlak dari z .

Contoh 2 :

Carilah  jika z = 3 -4i

Penyelesaian:

Dari defenisi 2.1 dengan a = 3 , b = -4 ,

Teorema berikut membangun hubungan dasar antara dan .

Teorema 1. Untuk sebarang bilangan kompleks z, z =

Bukti . jika z = a + bi maka

                                    z = (a+bi )(a-bi) = a² - abi + bai – b²i²

                                                                                                                                  = a² + b² =                        

sekarang kita berpaling pada pembagian bilangan kompleks . Tujuan kita adalah mendefenisikan pembagian sebagai balikan dari perkalian . Jadi, jika  , maka defenisi z= z₁/z₂ kita seharusnya sedemikian sehingga

z₁  = z₂z   (2.3)

Prosedur kita akan membuktikan bahwa (2.3) mempunyai penyelesaian unik untuk z jika dan kemudian mendefenisikan z₁/z₂ berupa nilai z ini .

Teorema 2. Jika , maka persamaan (2.3) mempunyai penyelesaian unik , yaitu:    (2.4)

Bukti . andaikan z =x + iy ,  z₁ = x₁  + iy_1,  dan z₂  =  x₂ + iy_2.  Maka (2.3) dapat ditulis kan sebagai

x₁ + iy₁  = (x₂ + iy­₂) (x+iy)

atau

x₁ + iy₁  = (x₂x - y­₂y)+ i(y₂x+x₂y)

atau, dengan menyamakan bagian-bagian riil dan imajiner ,

x₂x - y­₂y = x₁

 y₂x + x₂y = y₁

atau

Karena  menyusul bahwa baik x₂ maupun y₂  taknol, sehingga

Jadi ,menurut aturan cramer (teorema 10 dari pasal 2.4 ) sistem (2.5) mempunyai penyelesaian unik

Jadi,

                                               

                                               

Jadi , untuk kita defenisikan

            (2.6)

PERNYATAAN.untuk mengingat rumus ini, kalikan pembilang dan penyebut dari z₁/z₂ dengan z_{2 :}

Contoh 3:

Nyatakan    

Dalam bentuk a + bi

 Penyelesaian :

Dari (2.6) dengan z₁= 3 + 4i dan z₂=1-2i

                                                           

                                                           

                                                           

Penyelesaian lain . seperti dalam pernyataan diatas , kalikan pembilangdan penyebut dengan sekawan dari penyebut :

Contoh 4:

Gunakan aturan cramer untuk memecahkan

                                                            ix + 2y = 1 – 2i

                                                            4x – iy = -1 + 3i

Penyelesaian :

Jadi penyelesaiannya adalah x = i , y =1-i.

            Kita akhiri pasal ini dengan mendaftar beberapa sifat sekawan kompleks yang akan berguna dalam pasal-pasal selanjutnya .

Teorema 3 . untuk sebarang bilangan kompleks z, z1,dan  z2 (a)  (b)  (c)   (d)  (e)

                                                                                          

Kita buktikan (a) dan membiarkan sisanya sebagai latihan .

Bukti(a): andaikan z₁= a₁ +b₁i dan z₂ = a₂ + b₂i, maka

              

              

                                                                       

PERNYATAAN. Dimungkinkan untuk memperluas bagian (a) dari teorema 3 sampai n suku dan bagian (c) sampai n faktor . secara lebih tepat ,

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

·         Jika z = a + bi  sebarang bilangan kompleks , maka sekawan z yang dinyatakan oleh  ( dibaca “z garis”), didefenisikan oleh  =   , dengan kata-kata , diperoleh dengan membalik tanda bagian imajiner z. Secara geometris,  merupakan pencerminan z terhadap sumbu riil.

·         Modulus bilangan kompleks z = a + bi , dinyatakan oleh   , didefenisikan oleh   

·         Untuk sebarang bilangan kompleks z,

Z =

3.2 Saran

Dalam mempeleajari Modulus, sekawan (conjugate) , pembagian ini dibutuhkan ketelitian dalam menghitung agar tidak terjadi kesalahan . Dan berlatih dengan mengerjakan soal-soal dengan menggunakan teorema yang ada.

DAFTAR PUSTAKA

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

https://books.google.co.id/books?id=v57mQQcr1L8C&pg=PA408&lpg=PA408&dq=ALJABAR++LINIER+ELEMENTER+1/8&source=bl&ots=TYcIhf3aIx&sig=tQrxd0GMzsa4mOTxEaVTSMkT3EQ&hl=id&sa=X&ved=0ahUKEwjTpNfn-dDTAhVGvrwKHerHCqMQ6AEIPjAE#v=onepage&q=ALJABAR%20%20LINIER%20ELEMENTER%201%2F8&f=false