soal dan pemahasan analisis real 1

1.    Diberikan . Apakah S mempunyai batas bawah dan batas atas ? Apakah inf S dan sup S ada ? Buktikan jawabanmu.

·         Bukti S punya batas bawah

Misalkan ambil s ∊ S sebarang

Maka tentulah s ˃ 0

Berdasarkan definisi, S memiliki batas bawah

·         Bukti S tidak punya batas atas

Andaikan  w batas atas dari S

artinya s ≤ w

s ≤ w ini berarti bahwa s ˃ 0 dan w ˃ 0

karena w ˃ 0  w + 1 ˃ 0

karena w + 1 ˃ 0  w + 1 ∊ S

sementara w ˂ w+1

Artinya w bukan batas atas dari S

Jadi pengandaian salah maka haruslah S tidak punya batas atas.

·         Bukti S mempunyai inf

Misal k batas bawah S

Karena s ˃0

Maka haruslah k ˂ 0

Karena k ˂ 0 artinya S mempunyai inf yaitu 0

·         Bukti S tidak memiliki sup

Sebelumnya telah dibuktikan bahwa S tidak memiliki batas atas.

Karena S tidak memiliki batas atas maka S tidak memiliki sup.

2.    Diberikan . Carilah inf T dan sup T.

Diketahui   :

Ditanya      : inf T dan sup T

Jawab         :

Untuk

·           Untuk

·           Untuk

Dari (1) dan (2) diperoleh sup T = 2 , inf T =

3.    Diberikan S subset tak kosong ℝ yang terbatas kebawah.

Buktikan bahwa inf S= - sup .

Diketahui        : S terbatas dibawah

                         

Adib                : inf S= - sup

Bukti               :

   terbatas dibawah

Berart i

Karena

Dari (1)

inf S = w

         = - (-w)

         = -

         =

Jadi terbukti, jika S subset tak kosong ℝ yang terbatas kebawah maka inf S= - su p.

4.    Tunjukkan bahwa jika A dan B subset terbatas dari ℝ, maka  merupakan himpunan terbatas. Tunjukkan bahwa .

Diketahui       : A, B ⊆ ℝ

                          A, B terbatas

Adit                 : a.  merupakan himpunan terbatas

                           b. .

Bukti             :

a.      

A terbatas → A mempunyai batas atas dan batas bawah

B terbatas → B mempunyai batas atas dan batas bawah

Misalkan :  merupakan batas bawah dari A dan  merupakan batas atas dari A

Berarti

Misalkan :  merupakan batas bawah dari B dan  merupakan batas atas dari B

Berarti

Misalkan :

u merupakan batas atas  →

w merupakan batas bawah  →

karena u merupakan batas atas dan w merupakan batas bawah dari

sehingga 

ini berarti terbatas.

b.      A terbatas diatas → A mempunyai sup

Misalkan, c = sup A

B terbatas diatas → B mempunyai sup

Misalkan, d = sup B

Misalkan

      

           

Jadi, u sebarang batas atas

Karena,

Misal ada t batas atas lain da ri

maka

dikarenakan  atau  ( c = sup A atau d = sup B )

sehingga

dari (1) dan (2) diperoleh

dari * dan ** diperoleh .

5.    Diberikan S ⊆ ℝ dan misalkan s*=sup S dalam S. Jika u ∉ S. Tunjukkan bahwa

Bukti :

(1)   s*=sup S

misalkan  yang merupakan batas atas lain dari S

(2)   misalkan

Artinya c sebarang batas atas lain dari .

Misalkan ada t batas atas lainnya

maka

karena

berarti c sup dari .

6.    Tunjukkan bahwa himpunan berhingga S ⊆ ℝ memuat supremumnya.

7.    Jelaskan dan buktikan Lemma 1.3.3.

Bukti :

Dari kiri kekanan

diketahui :

                 

Adit         :

1.     

2.      Jika

Bukti :

1.       , sehingga u = batas atas S

      Jadi,

Syarat (1) terpenuhi.

2.      Andaikan tidak terdapat

berarti

karena  dan

kontradiksi dengan

pengandaian salah, sehingga yang benar

syarat (2) terpenuhi.

Dari kanan kekiri

Diketahui     :

(1)  

Terlihat bahwa u merupakan batas atas dari S.

Tebukti bahwa u suprimum S

(2)   Jika  maka

Andaikan u bukan suprimum S, berarti

dengan w = batas atas S.

Dari (2) karena  maka

Kontradiksi w = batas atas S

Pengandaian salah.

Harusnya u = suprimum S